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时间序列分解

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简介

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时间序列的成分

对于一个时间序列 $y(t)$，假设它是加性模型（an additive decomposition），则可以写成

其中 $S(t)$、$T(t)$、$R(t)$ 分别是周期成分（seasonal component）、趋势成分（trend-cycle component）、残差成分（remainder component）。

类似地，一个乘性模型可以写成

对于乘性模型，可以取对数（当然是有意义的前提下），将其转化为加性模型。

引文：

The additive decomposition is the most appropriate if the magnitude of the seasonal fluctuations, or the variation around the trend-cycle, does not vary with the level of the time series. When the variation in the seasonal pattern, or the variation around the trend-cycle, appears to be proportional to the level of the time series, then a multiplicative decomposition is more appropriate. Multiplicative decompositions are common with economic time series.

加性模型的缺点：

  1. 分解的时候，趋势性的预测总是缺乏首尾的数值。这一点做滑动平均（moving average）就会有体会，用前 $n$ 个序列的均值来作为 $n+1$ 时刻的趋势预测，那么前面 $n$ 个数值注定都是缺失值，而最后 $n$ 个数值也无法获得；

  2. 对于骤增和骤降不敏感，显得过于平滑，因此如果有突发的事件也难以进行捕捉；

  3. 对季节性的预测非常刻板，基本假设中周期性是固定的，如果随着时间改变其周期性波动也发生改变，可加性分解就无法捕捉到。

经典分解法（classical decomposition）

经典的时间序列分界算法，起于1920年，直到1950年之前仍在广泛使用。经典算法步骤相对简单，同时也是很多其他分解算法的基础。经典分解法是假设周期性成分在每个周期内都是相同的（【例如每年的月周期成分都相同】）。

经典分解法用到移动平均的概念：m-MA（意指m阶移动平均）是指

其中 $m=2k+1$，亦即时刻t的移动平均的值为向前 $k$ 个值和向后 $k$ 个值的均值。

加性模型分解算法

步骤：

  1. 如果 $m$ 为偶数，则用2-m-MA（所谓2-m-MA，意思是对序列先进行4-MA，然后对移动平均之后的序列，计算其2-MA。的这样就实现了某种对称性）来计算序列的趋势成分 $T(t)$；如果m为奇数，则用m-MA来计算序列的趋势成分 $T(t)$。
  2. 计算去掉趋势的时间序列 $D(t)=y(t)-T(t)$。
  3. 为了估计周期成分，只需要对同一周期的数据取均值即可。例如对于月度数据，要计算三月的周期性成分，对所有 $D(t)$ 中的三月份的数据进行求均值即可。周期性成分会被调整（加上一个偏置）以使得它们的和为0。对周期性成分复制到 $D(t)$ 的长度，即得到D(t)的所有周期性成分，记作 $S(t)$。
  4. 残差成分 $R(t)=y(t)-T(t)-S(t)$。

乘性模型分解算法

乘性模型和加性模型的思想很类似，区别在于把上述加性模型的步骤2改成 $D(t)=y(t)/T(t)$，Step4改成 $R(t)=y(t)/(T(t)*S(t))$。

X11分解法（X11 decomposition）

另一个受人欢迎的季度性数据和月度数据的分解算法是 X11分解法，它发明于美国人口普查局和加拿大统计局。

这方法是基于经典分解法的，但是包括很多其他的步骤和特点来客服经典分解法的一些不足。特别的，所有的数据点的趋势成分都可以得到（经典分解法最开始和最后的部分数据无法计算得到移动平均值），周期成分允许随着时间变化。X11有一些复杂的方法来处理交易日、假期、一些已知的影响因素的影响。它同时处理了加性模型和乘性模型。这个过程是全自动的，而且对于时间序列中的异常值和数据变动很鲁棒。

X11方法的细节可以参考 Dagum, E. B., & Bianconcini, S. (2016). Seasonal adjustment methods and real time trend-cycle estimation. Springer。R中有现成的程序可以使用。

SEATS分解（SEATS decomposition）

“SEATS”是指“Seasonal Extraction in ARIMA Time Series”。这个方法是由西班牙银行开发 的，现在被广泛应用在各国的政府部门中。

SEATS就是从ARIMA模型中提取季节变化因素。它具有一定的限制，就是只能够对季节尺度和月尺度的时间序列进行处理，其他则不行。可以看原始介绍。

详细的算法过程请参考　Dagum, E. B., & Bianconcini, S. (2016). Seasonal adjustment methods and real time trend-cycle estimation. Springer.　R中的seasonal包中有程序接口可以使用。

STL分解（STL decomposition）

STL是时间序列分解的一种versatile和鲁棒的方法。它是“Seasonal and Trend decomposition using Loess”的缩写，其中Loess是一种鲁棒的回归算法。STL，也就是对季节因子和趋势因子都进行了局部多项式回归的方法。它比以上提到的所有方法都要优秀，因为：

  1. SEATS和X11只能解决季节和月尺度的时间序列，STL没有任何限制；

  2. 季节因子可以随时间变化而变化，变化速率可以用户自定义；

  3. 趋势因子可以用户自定义；

  4. 对离群值不敏感，不过这样可能会让局部残差变大。

也有缺点，如只能进行可加性分解，无法根据交易日进行调整。不过如果要用可乘性的分解，其实可以先将序列进行对数化运算，然后再做STL，最后再反推回去即可。

其中LOESS（locally weighted scatterplot smoothing，LOWESS or LOESS）为局部多项式回归拟合，是对两维散点图进行平滑的常用方法，它结合了传统线性回归的简洁性和非线性回归的灵活性。当要估计某个响应变量值时，先从其预测变量附近取一个数据子集，然后对该子集进行线性回归或二次回归，回归时采用加权最小二乘法，即越靠近估计点的值其权重越大，最后利用得到的局部回归模型来估计响应变量的值。用这种方法进行逐点运算得到整条拟合曲线。

Robust LOESS 为鲁棒局部加权回归，具体算法可以参看博文 鲁棒局部加权回归 。STL对异常点具有健壮性，仅能处理加法模式的分解，对于乘法模式需要先转换为加法模式处理最后在逆变换回去。鲁棒局部加权回归法方法的LOESS过程和鲁棒性过程分别在STL的内部环和外部环中嵌套实现．

详细内容请参考 Cleveland, R. B., Cleveland, W. S., McRae, J. E., & Terpenning, I. J. (1990). STL: A seasonal-trend decomposition procedure based on loess. Journal of Official Statistics, 6(1), 3–33.

时序中趋势成分和周期成分的强度

时间序列分解可以用来衡量序列中的趋势成分和周期成分的强度。以分解公式

为例。

上式中，如果趋势性越强，$\text{Var}(T_t+R_t)$ 会比 $Var(R(t))$ 大得多，因此上式会很大，当然被限制在[0,1]之间。因此可以用上式来衡量趋势的强度。同理，下式可以用来衡量周期的强度，它也在[0,1]之内。

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