RexKing6's Note

矩阵求导

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简介

综合转载以下文章：

讲得很好懂。

标量对矩阵

小写字母 $x$ 表示标量，粗体小写字母 $\pmb x$ 表示（列）向量，大写字母 $X$ 表示矩阵。

首先来琢磨一下定义，标量 $f$ 对矩阵 $X$ 的导数，定义为 $\frac{\partial f}{\partial X}=\left[\frac{\partial f}{\partial X_{ij}}\right]$，即 $f$ 对 $X$ 逐元素求导排成与 $X$ 尺寸相同的矩阵。然而，这个定义在计算中并不好用，实用上的原因是对函数较复杂的情形难以逐元素求导；哲理上的原因是逐元素求导破坏了整体性。试想，为何要将 $f$ 看做矩阵 $X$ 而不是各元素 $X_{ij}$ 的函数呢？答案是用矩阵运算更整洁。所以在求导时不宜拆开矩阵，而是要找一个从整体出发的算法。

为此，我们来回顾，一元微积分中的导数（标量对标量的导数）与微分有联系：$df=f’(x)dx$；多元微积分中的梯度（标量对向量的导数）也与微分有联系：$df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i=\frac{\partial f^T}{\partial \pmb x}d \pmb x$，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了梯度与微分的联系：全微分 $df$ 是梯度向量 $\frac{df}{d\pmb x}$ (n×1)与微分向量 $d\pmb x$ (n×1)的内积；受此启发，我们将矩阵导数与微分建立联系：$df=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n\frac{\partial f}{\partial X_{ij}}dX_{ij}=\text{tr}\left(\frac{\partial f^T}{\partial X}dX\right)$。其中 $\text{tr}$ 代表迹（trace）是方阵对角线元素之和，满足性质：对尺寸相同的矩阵 $A$，$B$，$\text{tr}(A^TB)=\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}$，即 $\text{tr}(A^TB)$是矩阵 $A$，$B$ 的内积。与梯度相似，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了矩阵导数与微分的联系：全微分 $df$ 是导数 $\frac{\partial f}{\partial X}$ （m×n）与微分矩阵 $dX$ （m×n）的内积。

然后来建立运算法则。回想遇到较复杂的一元函数如 $f=\log (2+\sin x)e^{\sqrt x}$，我们是如何求导的呢？通常不是从定义开始求极限，而是先建立了初等函数求导和四则运算、复合等法则，再来运用这些法则。故而，我们来创立常用的矩阵微分的运算法则：

  1. 加减法：$d(X\pm Y)=dX\pm dY$；矩阵乘法：$d(XY)=(dX)Y+XdY$；转置：$d(X^T)=(dX)^T$；迹：$d\text{tr}(X)=\text{tr}(dX)$。
  2. 逆：$dX^{-1}=-X^{-1}dXX^{-1}$。此式可在 $XX^{-1}=I$ 两侧求微分来证明。
  3. 行列式：$d|X|=\text{tr}(X^\sharp dX)$，其中 $X^\sharp$ 表示 $X$ 的伴随矩阵，在 $X$ 可逆时又可以写作 $d|X|=|X|\text{tr}(X^{-1}dX)$。此式可用Laplace展开来证明。
  4. 逐元素乘法：$d(X\odot Y)=dX\odot Y+X\odot dY$，$\odot$ 表示尺寸相同的矩阵 $X$，$Y$ 逐元素相乘。
  5. 逐元素函数：$d\sigma(X)=\sigma’(X)\odot dX$，$\sigma(X)=[\sigma(X_{ij})]$ 是逐元素标量函数运算，$\sigma’(X)=[\sigma’(X_{ij})]$ 是逐元素求导数。 例如：$X=\left[\begin{array}{ll}{X_{11}} & {X_{12}} \ {X_{21}} & {X_{22}}\end{array}\right], d \sin (X)=\left[\begin{array}{cc}{\cos X_{11} d X_{11}} & {\cos X_{12} d X_{12}} \ {\cos X_{21} d X_{21}} & {\cos X_{22} d X_{22}}\end{array}\right]=\cos (X) \odot d X$。

我们试图利用矩阵导数与微分的联系 $d f=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^{T} d X\right)$ ，在求出左侧的微分 $df$ 后，该如何写成右侧的形式并得到导数呢？这需要一些迹技巧（trace trick）：

  1. 标量套上迹：$a=\operatorname{tr}(a)$；
  2. 转置：$\operatorname{tr}\left(A^{T}\right)=\operatorname{tr}(A)$；
  3. 线性：$\operatorname{tr}(A \pm B)=\operatorname{tr}(A) \pm \operatorname{tr}(B)$；
  4. 矩阵乘法交换：$\operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$，其中 $A$ 与 $B^T$ 尺寸相同。两侧都等于 $\sum_{i, j} A_{i j} B_{j i}$；
  5. 矩阵乘法/逐元素乘法交换：$\operatorname{tr}\left(A^{T}(B \odot C)\right)=\operatorname{tr}\left((A \odot B)^{T} C\right)$，其中 $A$，$B$，$C$ 尺寸相同。两侧都等于 $\sum_{i, j} A_{i j} B_{i j} C_{i j}$。

观察一下可以断言，若标量函数f是矩阵X经加减乘法、逆、行列式、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对f求微分，再使用迹技巧给df套上迹并将其它项交换至dX左侧，对照导数与微分的联系 $d f=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial f^{T}}{\partial X} d X\right)$ ，即能得到导数。

特别地，若矩阵退化为向量，对照导数与微分的联系 $d f=\frac{\partial f^{T}}{\partial x} d x$ ，即能得到导数。

在建立法则的最后，来谈一谈复合：假设已求得 $\frac{\partial f}{\partial Y}$ ，而Y是X的函数，如何求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 呢？在微积分中有标量求导的链式法则 $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x}$ ，但这里我们不能随意沿用标量的链式法则，因为矩阵对矩阵的导数 $\frac{\partial Y}{\partial X}$ 截至目前仍是未定义的。于是我们继续追本溯源，链式法则是从何而来？源头仍然是微分。我们直接从微分入手建立复合法则：先写出 $d f=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial f^{T}}{\partial Y} d Y\right)$ ，再将 $dY$ 用 $dX$ 表示出来代入，并使用迹技巧将其他项交换至 $dX$ 左侧，即可得到 $\frac{\partial f}{\partial X}$。

最常见的情形是 $Y=A X B$，此时 $d f=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial f^{T}}{\partial Y} d Y\right)=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial f^{T}}{\partial Y} \operatorname{Ad} X B\right)=\operatorname{tr}\left(B \frac{\partial f^{T}}{\partial Y} \begin{array}{c}{A d X} \ {}\end{array}\right)=\operatorname{tr}\left(\left(A^{T} \frac{\partial f}{\partial Y} B^{T}\right)^{T} d X\right)$，可得到 $\frac{\partial f}{\partial X}=A^{T} \frac{\partial f}{\partial Y} B^{T}$。注意这里 $d Y=(d A) X B+A d X B+A X d B=A d X B$，由于 $A$，$B$ 是常量，$d A=0$，$d B=0$，以及我们使用矩阵乘法交换的迹技巧交换了 $\frac{\partial f^{T}}{\partial Y} A d X$ 与 $B$。

接下来演示一些算例。特别提醒要依据已经建立的运算法则来计算，不能随意套用微积分中标量导数的结论，比如认为 $AX$ 对 $X$ 的导数为 $A$，这是没有根据、意义不明的。

例1：$f=\boldsymbol{a}^{T} X \boldsymbol{b}$，求 $\frac{\partial f}{\partial X}$。其中 $\boldsymbol{a}$ 是 $m \times 1$ 列向量，$X$ 是 $m\times n$ 矩阵，$\pmb b$ 是 $n\times 1$ 列向量，$f$ 是标量。

解：先使用矩阵乘法法则求微分，$d f=d \boldsymbol{a}^{T} X \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}^{T} d X \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}^{T} X d \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}^{T} d X \boldsymbol{b}$，注意这里的 $\pmb a$，$\pmb b$ 是常量，$d \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$，$d \boldsymbol{b}=\mathbf{0}$。由于 $df$ 是标量，它的迹等于自身，$d f=\operatorname{tr}(d f)$，套上迹并做矩阵乘法交换：$d f=\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{a}^{T} d X \boldsymbol{b}\right)=\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{b} \boldsymbol{a}^{T} d X\right)=\operatorname{tr}\left(\left(\boldsymbol{a} \boldsymbol{b}^{T}\right)^{T} d X\right)$，注意这里我们根据 $\operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ 交换了 $\boldsymbol{a}^{T} d X$ 与 $\pmb b$。对照导数与微分的联系：$d f=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial f^{T}}{\partial X} d X\right)$，得到 $\frac{\partial f}{\partial X}=\boldsymbol{a} \boldsymbol{b}^{T}$ 。

注意：这里不能用 $\frac{\partial f}{\partial X}=\boldsymbol{a}^{T} \frac{\partial X}{\partial X} \boldsymbol{b}=?$ ，导数与矩阵乘法的交换是不合法则的运算（而微分是合法的）。有些资料在计算矩阵导数时，会略过求微分这一步，这是逻辑上解释不通的。

例2：$f=\boldsymbol{a}^{T} \exp (X \boldsymbol{b})$，求 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 。其中 $\pmb a$ 是 $m\times 1$ 列向量，$X$ 是 $m\times n$ 矩阵， $\pmb b$ 是 $n\times 1$ 列向量，$\exp$ 表示逐元素求指数，$f$ 是标量。

解：先使用矩阵乘法、逐元素函数法则求微分：$d f=\boldsymbol{a}^{T}(\exp (X \boldsymbol{b}) \odot(d X \boldsymbol{b}))$，再套上迹并做交换：$d f=\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{a}^{T}(\exp (X \boldsymbol{b}) \odot(d X \boldsymbol{b}))\right)=\operatorname{tr}\left((\boldsymbol{a} \odot \exp (X \boldsymbol{b}))^{T} d X \boldsymbol{b}\right)=\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{b}(\boldsymbol{a} \odot \exp (X \boldsymbol{b}))^{T} d X\right)=\operatorname{tr}\left(\left((\boldsymbol{a} \odot \exp (X \boldsymbol{b}))^{T}\right)^{T} d X\right)$，注意这里我们先根据 $\operatorname{tr}\left(A^{T}(B \odot C)\right)=\operatorname{tr}\left((A \odot B)^{T} C\right)$ 交换了 $\pmb a$、$\exp(X\pmb b)$ 与 $dX\pmb b$，再根据 $\operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ 交换了 $(\boldsymbol{a} \odot \exp (X \boldsymbol{b}))^{T} d X$ 与 $\pmb b$。对照导数与微分的联系 $d f=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial f^{T}}{\partial X} d X\right)$，得到 $\frac{\partial f}{\partial X}=(\boldsymbol{a} \odot \exp (X \boldsymbol{b})) \boldsymbol{b}^{T}$。

例3：$f=\operatorname{tr}\left(Y^{T} M Y\right)$，$Y=\sigma(WX)$，求 $\frac{\partial f}{\partial X}$。其中 $W$ 是 $l\times m$ 矩阵，$X$ 是 $m\times n$ 矩阵，$Y$ 是 $l\times n$ 矩阵，$M$ 是 $l\times l$ 对称矩阵，$\sigma$ 是逐元素函数，$f$ 是标量。

解：先求 $\frac{\partial f}{\partial Y}$，求微分，使用矩阵乘法、转置法则：$d f=\operatorname{tr}\left((d Y)^{T} M Y\right)+\operatorname{tr}\left(Y^{T} M d Y\right)=\operatorname{tr}\left(Y^{T} M^{T} d Y\right)+\operatorname{tr}\left(Y^{T} M d Y\right)=\operatorname{tr}\left(Y^{T}\left(M+M^{T}\right) d Y\right)$，对照导数与微分的联系，得到 $\frac{\partial f}{\partial Y}=\left(M+M^{T}\right) Y=2 M Y$ ，注意这里$M$ 是对称矩阵。为求 $\frac{\partial f}{\partial X}$，写出 $d f=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^{T} d Y\right)$ ，再将 $dY$ 用 $dX$ 表示出来代入，并使用矩阵乘法/逐元素乘法交换：$d f=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^{T}\left(\sigma^{\prime}(W X) \odot(W d X)\right)\right)=\operatorname{tr}\left(\left(\frac{\partial f}{\partial Y} \odot \sigma^{\prime}(W X)\right)^{T} W d X\right)$，对照导数与微分的联系，得到 $\frac{\partial f}{\partial X}=W^{T}\left(\frac{\partial f}{\partial Y} \odot \sigma^{\prime}(W X)\right)=W^{T}\left((2 M \sigma(W X)) \odot \sigma^{\prime}(W X)\right)$。

例4 线性回归：$l=|X \boldsymbol{w}-\boldsymbol{y}|^{2}$， 求 $\pmb w$ 的最小二乘估计，即求 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}$ 的零点。其中 $\pmb y$ 是 $m\times 1$ 列向量，$X$ 是 $m\times n$ 矩阵， $\pmb w$ 是 $n\times 1$ 列向量，$l$ 是标量。

解：这是标量对向量的导数，不过可以把向量看做矩阵的特例。先将向量模平方改写成向量与自身的内积：$l=(X \boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^{T}(X \boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})$，求微分，使用矩阵乘法、转置等法则：$d l=(X d \boldsymbol{w})^{T}(X \boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})+(X \boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^{T}(X d \boldsymbol{w})=2(X \boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^{T} X d \boldsymbol{w}$。对照导数与微分的联系 $d l=\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}^{T} d \boldsymbol{w}$ ，得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}=2 X^{T}(X \boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})$。$\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}=0$ 即 $X^{T} X \boldsymbol{w}=X^{T} \boldsymbol{y}$ ，得到 $\pmb w$ 的最小二乘估计为 $\boldsymbol{w}=\left(X^{T} X\right)^{-1} X^{T} \boldsymbol{y}$。

例5 方差的最大似然估计：样本 $\boldsymbol{x}_{1}, \dots, \boldsymbol{x}_{N} \sim \mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)$ ，求方差 $\Sigma$ 的最大似然估计。写成数学式是：$l=\log |\Sigma|+\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left(\boldsymbol{x}_{i}-\overline{\boldsymbol{x}}\right)^{T} \Sigma^{-1}\left(\boldsymbol{x}_{i}-\overline{\boldsymbol{x}}\right)$，求 $\frac{\partial l}{\partial \Sigma}$ 的零点。其中 $\pmb x_i$ 是 $m\times 1$ 列向量，$\overline{\boldsymbol{x}}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{x}_{i}$ 是样本均值，$\Sigma$ 是 $m\times m$ 对称正定矩阵，$l$ 是标量，$\log$ 表示自然对数。

解：首先求微分，使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则，第一项是 $d \log |\Sigma|=|\Sigma|^{-1} d|\Sigma|=\operatorname{tr}\left(\Sigma^{-1} d \Sigma\right)$，第二项是 $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left(\boldsymbol{x}_{i}-\overline{\boldsymbol{x}}\right)^{T} d \Sigma^{-1}\left(\boldsymbol{x}_{i}-\overline{\boldsymbol{x}}\right)=-\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left(\boldsymbol{x}_{i}-\overline{\boldsymbol{x}}\right)^{T} \Sigma^{-1} d \Sigma \Sigma^{-1}\left(\boldsymbol{x}_{i}-\overline{\boldsymbol{x}}\right)$。再给第二项套上迹做交换：

其中先交换迹与求和，然后将 $\Sigma^{-1}\left(\boldsymbol{x}_{i}-\overline{\boldsymbol{x}}\right)$ 交换到左边，最后再交换迹与求和，并定义 $S=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left(\boldsymbol{x}_{i}-\overline{\boldsymbol{x}}\right)\left(\boldsymbol{x}_{i}-\overline{\boldsymbol{x}}\right)^{T}$ 为样本方差矩阵。得到 $d l=\operatorname{tr}\left(\left(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1} S \Sigma^{-1}\right) d \Sigma\right)$。对照导数与微分的联系，有 $\frac{\partial l}{\partial \Sigma}=\left(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1} S \Sigma^{-1}\right)^{T}$，其零点即 $\Sigma$ 的最大似然估计为 $\Sigma=S$。

例6 多元logistic回归：$l=-\boldsymbol{y}^{T} \log \operatorname{softmax}(W \boldsymbol{x})$，求 $\frac{\partial l}{\partial W}$。其中 $\pmb y$ 是除一个元素为1外其它元素为0的 $m \times 1$ 列向量，$W$ 是 $m\times n$ 矩阵，$\pmb x$ 是 $n\times 1$ 列向量，$l$ 是标量；$\log$ 表示自然对数，$\operatorname{softmax}(\boldsymbol{a})=\frac{\exp (\boldsymbol{a})}{\mathbf{1}^{T} \exp (\boldsymbol{a})}$ ，其中 $\exp (\boldsymbol{a})$ 表示逐元素求指数，$\pmb 1$ 代表全1向量。

解1：首先将softmax函数代入并写成 $l=-\boldsymbol{y}^{T}\left(\log (\exp (W \boldsymbol{x}))-\mathbf{1} \log \left(\mathbf{1}^{T} \exp (W \boldsymbol{x})\right)\right)=-\boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{W} \boldsymbol{x}+\log \left(\mathbf{1}^{T} \exp (W \boldsymbol{x})\right)$ ，这里要注意逐元素 $\log$ 满足等式 $\log (\boldsymbol{u} / c)=\log (\boldsymbol{u})-\mathbf{1} \log (c)$ ，以及 $\pmb y$ 满足 $\pmb y^T\pmb 1=1$。求微分，使用矩阵乘法、逐元素函数等法则：$d l=-\boldsymbol{y}^{T} d W \boldsymbol{x}+\frac{\mathbf{1}^{T}(\exp (W \boldsymbol{x}) \odot(d W \boldsymbol{x}))}{\mathbf{1}^{T} \exp (W \boldsymbol{x})}$。再套上迹并做交换，注意可化简 $\mathbf{1}^{T}(\exp (W \boldsymbol{x}) \odot(d W \boldsymbol{x}))=\exp (W \boldsymbol{x})^{T} d W \boldsymbol{x}$，这是根据等式 $\mathbf{1}^{T}(\boldsymbol{u} \odot \boldsymbol{v})=\boldsymbol{u}^{T} \boldsymbol{v}$，故 $d l=\operatorname{tr}\left(-\boldsymbol{y}^{T} d W \boldsymbol{x}+\frac{\exp (W \boldsymbol{x})^{T} d W \boldsymbol{x}}{\mathbf{1}^{T} \exp (W \boldsymbol{x})}\right)=\operatorname{tr}\left(-\boldsymbol{y}^{T} d W \boldsymbol{x}+\operatorname{softmax}(W \boldsymbol{x})^{T} d W \boldsymbol{x}\right)=\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{x}(\operatorname{softmax}(W \boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})^{T} d W\right)$。对照导数与微分的联系，得到 $\frac{\partial l}{\partial W}=(\operatorname{softmax}(W \boldsymbol{x})-\boldsymbol{y}) \boldsymbol{x}^{T}$。

解2：定义 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{W} \boldsymbol{x}$，则 $l=-\boldsymbol{y}^{T} \log \operatorname{softmax}(\boldsymbol{a})$，先同上求出 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}=\operatorname{softmax}(\boldsymbol{a})-\boldsymbol{y}$，再利用复合法则：$d l=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial l^{T}}{\partial \boldsymbol{a}} d \boldsymbol{a}\right)=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial l^{T}}{\partial \boldsymbol{a}} d W \boldsymbol{x}\right)=\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{x} \frac{\partial l^{T}}{\partial \boldsymbol{a}} d W\right)$，得到 $\frac{\partial l}{\partial W}=\frac{\partial l}{\partial a} \boldsymbol{x}^{T}$。

最后一例留给经典的神经网络。神经网络的求导术是学术史上的重要成果，还有个专门的名字叫做BP算法，我相信如今很多人在初次推导BP算法时也会颇费一番脑筋，事实上使用矩阵求导术来推导并不复杂。为简化起见，我们推导二层神经网络的BP算法。

例7 二层神经网络：$l=-\boldsymbol{y}^{T} \log \operatorname{softmax}\left(W_{2} \sigma\left(W_{1} \boldsymbol{x}\right)\right)$，求 $\frac{\partial l}{\partial W_{1}}$ 和 $\frac{\partial l}{\partial W_{2}}$。其中 $\pmb y$ 是除一个元素为1外其它元素为0的的 $m\times \pmb 1$ 列向量，$W_2$ 是 $m\times p$ 矩阵，$W_1$ 是 $p\times n$ 矩阵，$\pmb x$ 是 $n\times 1$ 列向量，$l$ 是标量；$\log$ 表示自然对数，$\operatorname{softmax}(\boldsymbol{a})=\frac{\exp (\boldsymbol{a})}{\mathbf{1}^{T} \exp (\boldsymbol{a})}$ 同上，$\sigma$ 是逐元素sigmoid函数 $\sigma (a)=\frac{1}{1+\exp(-a)}$。

解：定义 $\pmb a_1=W_1\pmb x$，$\pmb h_1=\sigma(\pmb a_1)$，$\pmb a_2=W_2\pmb h_1$，则 $l=-\pmb y ^T\log \text{softmax}(\pmb a_2)$。在前例中已求出 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{2}}=\operatorname{softmax}\left(\boldsymbol{a}_{2}\right)-\boldsymbol{y}$ 。使用复合法则，$d l=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial l^{T}}{\partial \boldsymbol{a}_{2}} d \boldsymbol{a}_{2}\right)=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial l^{T}}{\partial \boldsymbol{a}_{2}} d W_{2} \boldsymbol{h}_{1}\right)+\underbrace{\operatorname{tr}\left(\frac{\partial l^{T}}{\partial \boldsymbol{a}_{2}} W_{2} d \boldsymbol{h}_{1}\right)}_{d l_{2}}$，使用矩阵乘法交换的迹技巧从第一项得到 $\frac{\partial l}{\partial W_{2}}=\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{2}} \boldsymbol{h}_{1}^{T}$，从第二项得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{h}_{1}}=W_{2}^{T} \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{2}}$。接下来对第二项继续使用复合法则来求 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{1}}$，并利用矩阵乘法和逐元素乘法交换的迹技巧：$d l_{2}=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial l^{T}}{\partial \boldsymbol{h}_{1}} d \boldsymbol{h}_{1}\right)=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial l^{T}}{\partial \boldsymbol{h}_{1}}\left(\sigma^{\prime}\left(\boldsymbol{a}_{1}\right) \odot d \boldsymbol{a}_{1}\right)\right)=\operatorname{tr}\left(\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{h}_{1}} \odot \sigma^{\prime}\left(\boldsymbol{a}_{1}\right)\right)^{T} d \boldsymbol{a}_{1}\right)$，得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{1}}=\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{h}_{1}} \odot \sigma^{\prime}\left(\boldsymbol{a}_{1}\right)$。为求 $\frac{\partial l}{\partial W_{1}}$，再用一次复合法则：$d l_{2}=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial l^{T}}{\partial \boldsymbol{a}_{1}}^{T} d \boldsymbol{a}_{1}\right)=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial l^{T}}{\partial \boldsymbol{a}_{1}} d W_{1} \boldsymbol{x}\right)=\operatorname{tr}\left(\boldsymbol{x} \frac{\partial l^{T}}{\partial \boldsymbol{a}_{1}} d W_{1}\right)$，得到 $\frac{\partial l}{\partial W_{1}}=\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{1}} \boldsymbol{x}^{T}$。

推广：样本 $\left(\boldsymbol{x}_{1}, y_{1}\right), \ldots,\left(\boldsymbol{x}_{N}, y_{N}\right)$，$l=-\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{y}_{i}^{T} \log \operatorname{softmax}\left(W_{2} \sigma\left(W_{1} \boldsymbol{x}_{i}+\boldsymbol{b}_{1}\right)+\boldsymbol{b}_{2}\right)$，其中 $\pmb b_1$ 是 $p\times 1$ 列向量，$\pmb b_2$ 是 $m\times 1$ 列向量，其余定义同上。

解1：定义 $\boldsymbol{a}_{1, i}=W_{1} \boldsymbol{x}_{i}+\boldsymbol{b}_{1}$，$\quad \boldsymbol{h}_{1, i}=\sigma\left(\boldsymbol{a}_{1, i}\right)$，$\quad \boldsymbol{a}_{2, i}=W_{2} \boldsymbol{h}_{1, i}+\boldsymbol{b}_{2}$，则 $l=-\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{y}_{i}^{T} \log \operatorname{softmax}\left(\boldsymbol{a}_{2, i}\right)$ 。先同上可求出 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{2, i}}=\operatorname{softmax}\left(\boldsymbol{a}_{2, i}\right)-\boldsymbol{y}_{i}$ 。使用复合法则，$d l=\operatorname{tr}\left(\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial l^{T}}{\partial a_{2, i}} d a_{2, i}\right)=\operatorname{tr}\left(\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial l}{\partial a_{2, i}} d W_{2, i}\right)+\underbrace{\operatorname{tr}\left(\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial l}{\partial a_{2 i}}^{T} W_{2} d h_{1, i}\right)}_{d / 2}+\operatorname{tr}\left(\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial l}{\partial a_{2, i}} d b_{2}\right)$，从第一项得到得到 $\frac{\partial l}{\partial W_{2}}=\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{2, i}} \boldsymbol{h}_{1, i}^{T}$，从第二项得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{h}_{1, i}}=W_{2}^{T} \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{2, i}}$，从第三项得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{b}_{2}}=\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{2, i}}$。接下来对第二项继续使用复合法则，得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{1, i}}=\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{h}_{1, i}} \odot \sigma^{\prime}\left(\boldsymbol{a}_{1, i}\right)$。为求 $\frac{\partial l}{\partial W_{1}}, \frac{\partial l}{\partial b_{1}}$，再用一次复合法则：$d l_{2}=\operatorname{tr}\left(\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{1, i}}^{T} d \boldsymbol{a}_{1, i}\right)=\operatorname{tr}\left(\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{1, i}} d W_{1} \boldsymbol{x}_{i}\right)+\operatorname{tr}\left(\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{1, i}}^{T} d \boldsymbol{b}_{1}\right)$，得到 $\frac{\partial l}{\partial W_{1}}=\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{1, i}} \boldsymbol{x}_{i}^{T}$​，$\quad \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{b}_{1}}=\sum_{i=1}^{N} \frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_{1, i}}$。

解2：可以用矩阵来表示N个样本，以简化形式。定义 $X=\left[\boldsymbol{x}_{1}, \cdots, \boldsymbol{x}_{N}\right]$，$A_{1}=\left[\boldsymbol{a}_{1,1}, \cdots, \boldsymbol{a}_{1, N}\right]=W_{1} X+\boldsymbol{b}_{1} \mathbf{1}^{T}$，$\quad H_{1}=\left[\boldsymbol{h}_{1,1}, \cdots, \boldsymbol{h}_{1, N}\right]=\sigma\left(A_{1}\right)$，$A_{2}=\left[\boldsymbol{a}_{2,1}, \cdots, \boldsymbol{a}_{2, N}\right]=W_{2} H_{1}+\boldsymbol{b}_{2} \mathbf{1}^{T}$，注意这里使用全1向量来扩展维度。先同上求出 $\frac{\partial l}{\partial A_{2}}=\left[\operatorname{softmax}\left(\boldsymbol{a}_{2,1}\right)-\boldsymbol{y}_{1}, \cdots, \operatorname{softmax}\left(\boldsymbol{a}_{2, N}\right)-\boldsymbol{y}_{N}\right]$。使用复合法则，$=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial l^{T}}{\partial A_{2}} d A_{2}\right)=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial A_{2}}^{T} d W_{2} H_{1}\right)+\underbrace{\operatorname{tr}\left(\frac{\partial l^{T}}{\partial A_{2}} W_{2} d H_{1}\right)}_{d l_{2}}+\operatorname{tr}\left(\frac{\partial l^{T}}{\partial A_{2}} d b_{2} \mathbf{1}^{T}\right)$，从第一项得到 $\frac{\partial l}{\partial W_{2}}=\frac{\partial l}{\partial A_{2}} H_{1}^{T}$，从第二项得到 $\frac{\partial l}{\partial H_{1}}=W_{2}^{T} \frac{\partial l}{\partial A_{2}}$，从第三项得到 $\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{b}_{2}}=\frac{\partial l}{\partial A_{2}} \mathbf{1}$。接下来对第二项继续使用复合法则，得到 $\frac{\partial l}{\partial A_{1}}=\frac{\partial l}{\partial H_{1}} \odot \sigma^{\prime}\left(A_{1}\right)$。为求 $\frac{\partial l}{\partial W_{1}}, \frac{\partial l}{\partial b_{1}}$，再用一次复合法则：$d l_{2}=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial A_{1}}^{T} d A_{1}\right)=\operatorname{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial A_{1}}^{T} d W_{1} X\right)+\operatorname{tr}\left(\frac{\partial l^{T}}{\partial A_{1}} d b_{1} \mathbf{1}^{T}\right)$，得到$\frac{\partial l}{\partial W_{1}}=\frac{\partial l}{\partial A_{1}} X^{T}$，$\frac{\partial l}{\partial b_{1}}=\frac{\partial l}{\partial A_{1}} \mathbf{1}$。

矩阵对矩阵

矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法中Hessian矩阵的分析。

首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数，需要什么样的定义？第一，矩阵$F$（p×q）对矩阵 $X$（m×n）的导数应包含所有 m×n×p×q 个偏导数 $\frac{\partial F_{k l}}{\partial X_{i j}}$，从而不损失信息；第二，导数与微分有简明的联系，因为在计算导数和应用中需要这个联系；第三，导数有简明的从整体出发的算法。我们先定义向量 $\pmb f$（p×1）对向量 $\pmb x$（m×1）的导数 $\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}=\left[\begin{array}{cccc}{\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}} & {\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}} & {\cdots} & {\frac{\partial f_{p}}{\partial x_{1}}} \ {\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}} & {\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}} & {\cdots} & {\frac{\partial f_{p}}{\partial x_{2}}} \ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \ {\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{m}}} & {\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{m}}} & {\cdots} & {\frac{\partial f_{p}}{\partial x_{m}}}\end{array}\right]$（m×p），有 $d \boldsymbol{f}=\frac{\partial \boldsymbol{f}^{T}}{\partial \boldsymbol{x}} d \boldsymbol{x}$；再定义矩阵的（按列优先）向量化 $\operatorname{vec}(X)=\left[X_{11}, \ldots, X_{m 1}, X_{12}, \ldots, X_{m 2}, \ldots, X_{1 n}, \ldots, X_{m n}\right]^{T}$（mn×1），并定义矩阵 $F$ 对矩阵 $X$ 的导数 $\frac{\partial F}{\partial X}=\frac{\partial \operatorname{vec}(F)}{\partial \operatorname{vec}(X)}$（mn×pq）。导数与微分有联系 $\operatorname{vec}(d F)=\frac{\partial F}{\partial X}^{T} \operatorname{vec}(d X)$。几点说明如下：

  1. 按此定义，标量 $f$ 对矩阵 $X$（m×n）的导数 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 是mn×1向量，与上篇的定义不兼容，不过二者容易相互转换。为避免混淆，用记号 $\nabla_X f$ 表示上篇定义的m×n矩阵，则有 $\frac{\partial f}{\partial X}=\operatorname{vec}\left(\nabla_{X} f\right)$。虽然本篇的技术可以用于标量对矩阵求导这种特殊情况，但使用上篇中的技术更方便。读者可以通过上篇中的算例试验两种方法的等价转换。
  2. 标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为 $\nabla_{X}^{2} f=\frac{\partial^{2} f}{\partial X^{2}}=\frac{\partial \nabla_{X} f}{\partial X}$（mn×mn），是对称矩阵。对向量 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 或矩阵 $\nabla_X f$ 求导都可以得到Hessian矩阵，但从矩阵 $\nabla_X f$ 出发更方便。
  3. $\frac{\partial F}{\partial X}=\frac{\partial \operatorname{vec}(F)}{\partial X}=\frac{\partial F}{\partial \operatorname{vec}(X)}=\frac{\partial \operatorname{vec}(F)}{\partial \operatorname{vec}(X)}$ ，求导时矩阵被向量化，弊端是这在一定程度破坏了矩阵的结构，会导致结果变得形式复杂；好处是多元微积分中关于梯度、Hessian矩阵的结论可以沿用过来，只需将矩阵向量化。例如优化问题中，牛顿法的更新 $\Delta X$，满足 $\operatorname{vec}(\Delta X)=-\left(\nabla_{X}^{2} f\right)^{-1} \operatorname{vec}\left(\nabla_{X} f\right)$。
  4. 在资料中，矩阵对矩阵的导数还有其它定义，比如 $\frac{\partial F}{\partial X}=\left[\frac{\partial F_{k l}}{\partial X}\right]$ （mp×nq），或是 $\frac{\partial F}{\partial X}=\left[\frac{\partial F}{\partial X_{i j}}\right]$（mp×nq），它能兼容上篇中的标量对矩阵导数的定义，但微分与导数的联系（$dF$ 等于 $\frac{\partial f}{\partial X}$ 中逐个m×n子块分别与 $dX$ 做内积）不够简明，不便于计算和应用。资料[5]综述了以上定义，并批判它们是坏的定义，能配合微分运算的才是好的定义。

然后来建立运算法则。仍然要利用导数与微分的联系 $\operatorname{vec}(d F)=\frac{\partial F}{\partial X} \operatorname{vec}(d X)$，求微分的方法与上篇相同，而从微分得到导数需要一些向量化的技巧：

  1. 线性：$\text {vec}(A+B)=\text {vec}(A)+\text{vec}(B)$。
  2. 矩阵乘法：$\operatorname{vec}(A X B)=\left(B^{T} \otimes A\right) \operatorname{vec}(X)$，其中 $\otimes$ 表示Kronecker积，$A$（m×n）与 $B$（p×q）的Kronecker积是 $A \otimes B=\left[A_{i j} B\right]_{(\mathrm{mp} \times n q)}$。此式证明见张贤达《矩阵分析与应用》第107-108页。

  3. 转置：$\operatorname{vec}\left(A^{T}\right)=K_{m n} \operatorname{vec}(A)$，$A$ 是m×n矩阵，其中 $K_{mn}$（mn×mn）是交换矩阵(commutation matrix)，将按列优先的向量化变为按行优先的向量化。例如 $K_{22}=\left[\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {1} & {0} \ {0} & {1} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right], \operatorname{vec}\left(A^{T}\right)=\left[\begin{array}{c}{A_{11}} \ {A_{12}} \ {A_{21}} \ {A_{22}}\end{array}\right], \operatorname{vec}(A)=\left[\begin{array}{c}{A_{11}} \ {A_{21}} \ {A_{12}} \ {A_{22}}\end{array}\right]$

  4. 逐元素乘法：$\operatorname{vec}(A \odot X)=\operatorname{diag}(A) \operatorname{vec}(X)$，其中 $\text{diag}(A)$（mn×mn）是用 $A$ 的元素（按列优先）排成的对角阵。

观察一下可以断言，若矩阵函数F是矩阵X经加减乘法、逆、行列式、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对F求微分，再做向量化并使用技巧将其它项交换至vec(dX)左侧，对照导数与微分的联系 $\operatorname{vec}(d F)=\frac{\partial F}{\partial X}^{T} \operatorname{vec}(d X)$，即能得到导数。

特别地，若矩阵退化为向量，对照导数与微分的联系 $d \boldsymbol{f}=\frac{\partial \boldsymbol{f}^{T}}{\partial \boldsymbol{x}} d \boldsymbol{x}$，即能得到导数。

再谈一谈复合：假设已求得 $\frac{\partial F}{\partial Y}$，而 $Y$ 是 $X$ 的函数，如何求 $\frac{\partial F}{\partial X}$呢？从导数与微分的联系入手，$\operatorname{vec}(d F)=\frac{\partial F}{\partial Y}^{T} \operatorname{vec}(d Y)=\frac{\partial F}{\partial Y}^{T} \frac{\partial Y}{\partial X}^{T} \operatorname{vec}(d X)$，可以推出链式法则 $\frac{\partial F}{\partial X}=\frac{\partial Y}{\partial X} \frac{\partial F}{\partial Y}$。

和标量对矩阵的导数相比，矩阵对矩阵的导数形式更加复杂，从不同角度出发常会得到形式不同的结果。有一些Kronecker积和交换矩阵相关的恒等式，可用来做等价变形：

  1. $(A \otimes B)^{T}=A^{T} \otimes B^{T}$。
  2. $\operatorname{vec}\left(\boldsymbol{a} \boldsymbol{b}^{T}\right)=\boldsymbol{b} \otimes \boldsymbol{a}$
  3. $(A \otimes B)(C \otimes D)=(A C) \otimes(B D)$。可以对 $F=D^{T} B^{T} X A C$ 求导来证明，一方面，直接求导得到 $\frac{\partial F}{\partial X}=(A C) \otimes(B D)$；另一方面，引入 $Y=B^{T} X A$，有 $\frac{\partial F}{\partial Y}=C \otimes D, \frac{\partial Y}{\partial X}=A \otimes B$，用链式法则得到 $\frac{\partial F}{\partial X}=(A \otimes B)(C \otimes D)$。
  4. $K_{m n}=K_{n m}^{T}, K_{m n} K_{n m}=I$。
  5. $K_{p m}(A \otimes B) K_{n q}=B \otimes A$，$A$ 是m×n矩阵，$B$ 是p×q矩阵。可以对 $AXB^T$ 做向量化来证明，一方面，$\operatorname{vec}\left(A X B^{T}\right)=(B \otimes A) \operatorname{vec}(X)$；另一方面，$\operatorname{vec}\left(A X B^{T}\right)=K_{p m} \operatorname{vec}\left(B X^{T} A^{T}\right)=K_{p m}(A \otimes B) \operatorname{vec}\left(X^{T}\right)=K_{p m}(A \otimes B) K_{n q} \operatorname{vec}(X)$。

接下来演示一些算例。

例1：$F=AX$，$X$ 是m×n矩阵，求 $\frac{\partial F}{\partial X}$。

解：先求微分：$d F=A d X$，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧，注意在 $dX$ 右侧添加单位阵：$\operatorname{vec}(d F)=\operatorname{vec}(A d X)=\left(I_{n} \otimes A\right) \operatorname{vec}(d X)$，对照导数与微分的联系得到 $\frac{\partial F}{\partial X}=I_{n} \otimes A^{T}$。

特例：如果 $X$退化为向量，即 $\boldsymbol{f}=A \boldsymbol{x}$，则根据向量的导数与微分的关系 $d \boldsymbol{f}=\frac{\partial \boldsymbol{f}^{T}}{\partial \boldsymbol{x}} d \boldsymbol{x}$，得到 $\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}}=A^{T}$。

例2：$f=\log |X|$，$X$ 是n×n矩阵，求 $\nabla_{X} f$ 和 $\nabla_{X}^{2} f$。

解：使用上篇中的技术可求得$\nabla_{X} f=X^{-1 T}$。为求 $\nabla_{X}^{2} f$，先求微分：$d \nabla_{X} f=-\left(X^{-1} d X X^{-1}\right)^{T}$，再做向量化，使用转置和矩阵乘法的技巧 $\operatorname{vec}\left(d \nabla_{X} f\right)=-K_{n n} \operatorname{vec}\left(X^{-1} d X X^{-1}\right)=-K_{n n}\left(X^{-1 T} \otimes X^{-1}\right) \operatorname{vec}(d X)$，对照导数与微分的联系，得到 $\nabla_{X}^{2} f=-K_{n n}\left(X^{-1 T} \otimes X^{-1}\right)$，注意它是对称矩阵。在 $X$ 是对称矩阵时，可简化为 $\nabla_{X}^{2} f=-X^{-1} \otimes X^{-1}$。

例3：$F=A \exp (X B)$，$A$ 是l×m矩阵，$X$ 是m×n矩阵，$B$ 是n×p矩阵，$\exp$ 为逐元素函数，求 $\frac{\partial F}{\partial X}$。

解：先求微分：$d F=A(\exp (X B) \odot(d X B))$，再做向量化，使用矩阵乘法的技巧：$\operatorname{vec}(d F)=\left(I_{p} \otimes A\right) \operatorname{vec}(\exp (X B) \odot(d X B))$，再用逐元素乘法的技巧：$\operatorname{vec}(d F)=\left(I_{p} \otimes A\right) \operatorname{diag}(\exp (X B)) \operatorname{vec}(d X B)$，再用矩阵乘法的技巧：$\operatorname{vec}(d F)=\left(I_{p} \otimes A\right) \operatorname{diag}(\exp (X B))\left(B^{T} \otimes I_{m}\right) \operatorname{vec}(d X)$，对照导数与微分的联系得到 $\frac{\partial F}{\partial X}=\left(B \otimes I_{m}\right) \operatorname{diag}(\exp (X B))\left(I_{p} \otimes A^{T}\right)$。

例4 一元logistic回归：$l=-y \boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{w}+\log \left(1+\exp \left(\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{w}\right)\right)$，求 $\nabla_{\boldsymbol{w}} l$ 和 $\nabla_{\boldsymbol{w}}^{2} l$。其中 $y$ 是取值0或1的标量，$\pmb x$，$\pmb w$ 是 $n\times 1$ 列向量。

解：使用上篇中的技术可求得 $\nabla_{\boldsymbol{w}} l=\boldsymbol{x}\left(\sigma\left(\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{w}\right)-y\right)$，其中 $\sigma(a)=\frac{\exp (a)}{1+\exp (a)}$ 为sigmoid函数。为求 $\nabla_{\boldsymbol{w}}^{2} l$，先求微分：$d \nabla_{\boldsymbol{w}} l=\boldsymbol{x} \sigma^{\prime}\left(\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{w}\right) \boldsymbol{x}^{T} d \boldsymbol{w}$，其中 $\sigma^{\prime}(a)=\frac{\exp (a)}{(1+\exp (a))^{2}}$ 为sigmoid函数的导数，对照导数与微分的联系，得到 $\nabla_{w}^{2} l=\boldsymbol{x} \sigma^{\prime}\left(\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{w}\right) \boldsymbol{x}^{T}$。

推广：样本 $\left(\boldsymbol{x}_{1}, y_{1}\right), \ldots,\left(\boldsymbol{x}_{N}, y_{N}\right), l=\sum_{i=1}^{N}\left(-y_{i} \boldsymbol{x}_{i}^{T} \boldsymbol{w}+\log \left(1+\exp \left(\boldsymbol{x}_{i}^{T} \boldsymbol{w}\right)\right)\right)$，求 $\nabla_{\boldsymbol{w}} l$ 和 $\nabla_{\boldsymbol{w}}^{2} l$。有两种方法，解1：先对每个样本求导，然后相加；解2：定义矩阵 $X=\left[\begin{array}{c}{\boldsymbol{x}_{1}^{T}} \ {\vdots} \ {\boldsymbol{x}_{n}^{T}}\end{array}\right]$，向量$\boldsymbol{y}=\left[\begin{array}{c}{y_{1}} \ {\vdots} \ {y_{n}}\end{array}\right]$，将 $l$ 写成矩阵形式 $l=-\boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{X} \boldsymbol{w}+\mathbf{1}^{T} \log (\mathbf{1}+\exp (X \boldsymbol{w}))$，进而可以使用上篇中的技术求得$\nabla_{\boldsymbol{w}} l=X^{T}(\sigma(X \boldsymbol{w})-\boldsymbol{y})$ 。为求 $\nabla_{\boldsymbol{w}}^{2} l$，先求微分，再用逐元素乘法的技巧：$d \nabla_{w} l=X^{T}\left(\sigma^{\prime}(X \boldsymbol{w}) \odot(X d \boldsymbol{w})\right)=X^{T} \operatorname{diag}\left(\sigma^{\prime}(X \boldsymbol{w})\right) X d \boldsymbol{w}$，对照导数与微分的联系，得到 $\nabla_{w}^{2} l=X^{T} \operatorname{diag}\left(\sigma^{\prime}(X \boldsymbol{w})\right) X$。

例5 多元logistic回归：$l=-\boldsymbol{y}^{T} \log \operatorname{softmax}(W \boldsymbol{x})=-\boldsymbol{y}^{T} \boldsymbol{W} \boldsymbol{x}+\log \left(\mathbf{1}^{T} \exp (W \boldsymbol{x})\right)$，求 $\nabla_{\boldsymbol{w}} l$ 和 $\nabla_{\boldsymbol{w}}^{2} l$。其中 $\pmb y$ 是除一个元素为1外其它元素为0的 $m\times 1$列向量，$W$ 是 $m\times n$ 矩阵，$\pmb x$ 是 $n\times 1$ 列向量，$l$ 是标量。

解：上篇中已求得 $\nabla_{W} l=(\operatorname{softmax}(W \boldsymbol{x})-\boldsymbol{y}) \boldsymbol{x}^{T}$ 。为求 $\nabla_{\boldsymbol{w}}^{2} l$，先求微分：定义 $\boldsymbol{a}=W \boldsymbol{x}$，$d \nabla_{W} l=\left(\frac{\exp (a) \odot d a}{\mathbf{1}^{T} \exp (a)}-\frac{\exp (a)\left(\mathbf{1}^{T}(\exp (a) \odot d a)\right)}{\left(\mathbf{1}^{T} \exp (a)\right)^{2}}\right) \boldsymbol{x}^{T}=\left(\frac{\operatorname{diag}(\exp (a))}{\mathbf{1}^{T} \exp (a)}-\frac{\exp (a) \exp (a)^{T}}{\left(\mathbf{1}^{T} \exp (a)\right)^{2}}\right) d \boldsymbol{a} \boldsymbol{x}^{T}=\left(\operatorname{diag}(\operatorname{softmax}(\boldsymbol{a}))-\operatorname{softmax}(\boldsymbol{a}) \operatorname{softmax}(\boldsymbol{a})^{T}\right) d \boldsymbol{a} \boldsymbol{x}^{T}$，注意这里化简去掉逐元素乘法，第一项中 $\exp (\boldsymbol{a}) \odot d \boldsymbol{a}=\operatorname{diag}(\exp (\boldsymbol{a})) d \boldsymbol{a}$，第二项中 $\mathbf{1}^{T}(\exp (\boldsymbol{a}) \odot d \boldsymbol{a})=\exp (\boldsymbol{a})^{T} d \boldsymbol{a}$ 。定义矩阵 $D(\boldsymbol{a})=\operatorname{diag}(\operatorname{softmax}(\boldsymbol{a}))-\operatorname{softmax}(\boldsymbol{a}) \operatorname{softmax}(\boldsymbol{a})^{T}$，$d \nabla_{W} l=D(\boldsymbol{a}) d \boldsymbol{a} \boldsymbol{x}^{T}=D(W \boldsymbol{x}) d W \boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^{T}$，做向量化并使用矩阵乘法的技巧，得到 $\nabla_{W}^{2} l=\left(\boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^{T}\right) \otimes D(W \boldsymbol{x})$。

总结。我们发展了从整体出发的矩阵求导的技术，导数与微分的联系是计算的枢纽，标量对矩阵的导数与微分的联系是 $d f=\operatorname{tr}\left(\nabla_{X}^{T} f d X\right)$，先对f求微分，再使用迹技巧可求得导数，特别地，标量对向量的导数与微分的联系是 $d f=\nabla_{x}^{T} f d x$；矩阵对矩阵的导数与微分的联系是 $\operatorname{vec}(d F)=\frac{\partial F}{\partial X}^{T} \operatorname{vec}(d X)$，先对 $F$ 求微分，再使用向量化的技巧可求得导数，特别地，向量对向量的导数与微分的联系是 $d f=\frac{\partial f^{T}}{\partial x} d x$。

参考资料

  1. 张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社有限公司, 2004.
  2. Fackler, Paul L. “Notes on matrix calculus.” North Carolina State University(2005).
  3. Petersen, Kaare Brandt, and Michael Syskind Pedersen. “The matrix cookbook.” Technical University of Denmark 7 (2008): 15.
  4. HU, Pili. “Matrix Calculus: Derivation and Simple Application.” (2012).
  5. Magnus, Jan R., and Heinz Neudecker. “Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics.” Wiley, 2019.
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