简介
综合转载于：
数据流采样
- 问题： 在一个无限的整数数据流，如何从中等概率随机抽取 k 个整数出来？ — 采样问题
K = 1 时
抽样方法：
- 当第一个整数到达时，保存该整数
- 当第二个整数到达时，以 $\frac{1}{2}$ 的概率使用该整数替换第一个整数，以 $\frac{1}{2}$ 的概率丢弃该整数
- 当第 i 个整数到达时，以 $\frac{1}{i}$ 的概率使用第 i 个整数替换被选中的整数， 以 $1 - \frac{1}{i}$ 的概率丢弃 第i个整数
归纳法 - 验证分析
- n = 1 时， 被选中的概率为 100%， 成立
- 设 $n = m , m \ge 1$ 时，命题成立，即前 m 个数，每一个被选中的概率为 $\frac{1}{m}$
- 当 $ n = m + 1 $ 时， 第
m + 1个数被选中的概率为 $\frac{1}{m+1}$， 前 m 个数被选中的概率为 $\frac{1}{m} * (1-\frac{1}{m+1}) = \frac{1}{m+1}$ , 成立。
K > 1 时
抽样方法
- 前 k 个整数到达时，全部保留
- 第 i 个整数到达时， 以 $\frac{k}{i}$ 的概率替换 k 个数中的某一个，以 $1-\frac{k}{i} $ 丢弃
归纳法 - 验证分析
$n \le k$ 时， 被选中的概率为100%， 成立
假设 $n = m, m > k$ 时， 你命题成立， 即前m 个数， 每一个被选中的概率为 $\frac{1}{m}$
当 $ n = m + 1 $ 时， 第 m+1 个数被选中的概率为 $\frac{k}{m+1}$， 前 m 个数被选中的概率为：
基数统计
- 题目： 计算一个数据流中不同元素的个数？
1. HashSet
采用 hashet，不断加入， 最终的hashset大小就是所求答案。 缺点： 单机内存存不下
2. bitmap
- 前提： 假设已经知道不同元素的个数的上限，假设为 N
我们可以建立一个长度为N的 bit 数组， 每个元素与 bit 数组的某一位一一对应， 该位为1，则表示此元素在集合中，为 0 表示不再集合中，最终的答案为 bitmap 中1的个数。
- 缺点： bitmap 与实际情况下不同元素的个数无关，而与不同元素的个数上限有关。
3. Linear Counting
基本思路：
- 选择一个哈希函数 h， 其结果服从均匀分布
- 开一个长度为 m 的bitmap，初始化为 0
- 数据流每来一个元素，计算哈希值并对m取模，然后将该位置置1
- 最后，若 bitmap 中还有 u 个bit 为 0， 则不同元素的总数近似为 $-m log\frac{u}{m}$
m的选择
对于 bitmap 长度的选择，主要由两个因素决定：基数大小以及容许的误差。 假设基数大小大约为n， 允许误差大约为 $\epsilon$， 则 m 需要满足如下约束：
4. Loglog Counting
基本思路：
- 均匀随机化。 选择哈希函数 h 的几大条件：
- h 应该尽可能减少冲突
- h 的结果是几乎服从均匀分布的。
- 哈希后的结果是固定长度的。
- 对于每个元素，计算出哈希值，每个哈希值是等长的，长度为 L
5. HyperLogLog Counting
频率估计
- 题目： 计算数据流中任意元素的出现的次数
1. HashMap
- 用 HashMap 来记录每个元素出现的次数。
- 缺点： 占用内存大，单机内存无法存下这个巨大的 HashMap
2. 数据分片 + HashMap
假设有 n 台机器， 那么每台机器都有一个HashMap， 第 i 台处理 hash(elem) % n == i-1的元素。
查询时， 先计算元素在哪台机器上，然后去那台机器上的HashMap读取。
3. Count-Min Sketch
- 选定 d 个哈希函数， 并建立一个
d * m的二维整数数组作为哈希表 - 对于每个元素，分别使用 d 个hash 函数计算相应哈希值，并对 m 取余，然后在对应的位置上增1，二维数组中的每个整数称为 sketch。
- 对于要查询的元素，取出 d 个sketch， 返回最小的哪一个。（d 个sketch 都是该元素的近似频率，返回任意一个均可）
优点： 省内存；
缺点：对于出现次数较少的元素，准确性很差。主要是由于 hash 冲突比较严重
4. Count-Mean-Min Sketch
对 Count-Min Sketch 做了改进。
- 来了一个查询，按照 Count-Min Sketch 的正常流程，取出它的d个sketch
- 对于每个hash函数，估算一个噪音 = 该行所有整数（除了被查询的这个元素）的平均值
- 真正的sketch = 该行的sketch - 该行的噪音
- 返回 d 个sketch 的中位数
Top k
- 有1亿个浮点数，如果找出最大的10000个？
1. 直接
最容易想到的方法是将数据全部排序，然后在排序后的集合中进行查找，最快的排序算法的时间复杂度一般为O（nlogn），如快速排序。但是在32位的机器上，每个float类型占4个字节，1亿个浮点数就要占用400MB的存储空间，对于一些可用内存小于400M的计算机而言，很显然是不能一次将全部数据读入内存进行排序的。其实即使内存能够满足要求（我机器内存都是8GB），该方法也并不高效，因为题目的目的是寻找出最大的10000个数即可，而排序却是将所有的元素都排序了，做了很多的无用功。
2. 局部淘汰法
该方法与排序方法类似，用一个容器保存前10000个数，然后将剩余的所有数字——与容器内的最小数字相比，如果所有后续的元素都比容器内的10000个数还小，那么容器内这个10000个数就是最大10000个数。如果某一后续元素比容器内最小数字大，则删掉容器内最小元素，并将该元素插入容器，最后遍历完这1亿个数，得到的结果容器中保存的数即为最终结果了。此时的时间复杂度为O（n+m^2），其中m为容器的大小，即10000。
3. 分治法
将1亿个数据分成100份，每份100万个数据，找到每份数据中最大的10000个，最后在剩下的100*10000个数据里面找出最大的10000个。如果100万数据选择足够理想，那么可以过滤掉1亿数据里面99%的数据。100万个数据里面查找最大的10000个数据的方法如下：用快速排序的方法，将数据分为2堆，如果大的那堆个数N大于10000个，继续对大堆快速排序一次分成2堆，如果大的那堆个数N大于10000个，继续对大堆快速排序一次分成2堆，如果大堆个数N小于10000个，就在小的那堆里面快速排序一次，找第10000-n大的数字；递归以上过程，就可以找到第1w大的数。参考上面的找出第1w大数字，就可以类似的方法找到前10000大数字了。此种方法需要每次的内存空间为10^6*4=4MB，一共需要101次这样的比较。
4. Hash
如果这1亿个书里面有很多重复的数，先通过Hash法，把这1亿个数字去重复，这样如果重复率很高的话，会减少很大的内存用量，从而缩小运算空间，然后通过分治法或最小堆法查找最大的10000个数。
5. 最小堆
首先读入前10000个数来创建大小为10000的最小堆，建堆的时间复杂度为O（mlogm）（m为数组的大小即为10000），然后遍历后续的数字，并于堆顶（最小）数字进行比较。如果比最小的数小，则继续读取后续数字；如果比堆顶数字大，则替换堆顶元素并重新调整堆为最小堆。整个过程直至1亿个数全部遍历完为止。然后按照中序遍历的方式输出当前堆中的所有10000个数字。该算法的时间复杂度为O（nmlogm），空间复杂度是10000（常数）。
时间复杂度取决于建堆是插入建的O(nmlogm)，还是bottom-up建的（O(nlogm)）。
实际运行：单机+单核+足够大内存
如果需要查找10亿个查询次（每个占8B）中出现频率最高的10个，考虑到每个查询词占8B，则10亿个查询次所需的内存大约是10^9 * 8B=8GB内存。如果有这么大内存，直接在内存中对查询次进行排序，顺序遍历找出10个出现频率最大的即可。这种方法简单快速，使用。然后，也可以先用HashMap求出每个词出现的频率，然后求出频率最大的10个词。
实际运行：单机+多核+足够大内存
这时可以直接在内存总使用Hash方法将数据划分成n个partition，每个partition交给一个线程处理，线程的处理逻辑同（1）类似，最后一个线程将结果归并。
该方法存在一个瓶颈会明显影响效率，即数据倾斜。每个线程的处理速度可能不同，快的线程需要等待慢的线程，最终的处理速度取决于慢的线程。而针对此问题，解决的方法是，将数据划分成c×n个partition（c>1），每个线程处理完当前partition后主动取下一个partition继续处理，知道所有数据处理完毕，最后由一个线程进行归并。
实际运行：单机+单核+受限内存
这种情况下，需要将原数据文件切割成一个一个小文件，如次啊用hash(x)%M，将原文件中的数据切割成M小文件，如果小文件仍大于内存大小，继续采用Hash的方法对数据文件进行分割，知道每个小文件小于内存大小，这样每个文件可放到内存中处理。采用（1）的方法依次处理每个小文件。
实际运行：多机+受限内存
这种情况，为了合理利用多台机器的资源，可将数据分发到多台机器上，每台机器采用（3）中的策略解决本地的数据。可采用hash+socket方法进行数据分发。
实际运行：MapReduce
从实际应用的角度考虑，（1）（2）（3）（4）方案并不可行，因为在大规模数据处理环境下，作业效率并不是首要考虑的问题，算法的扩展性和容错性才是首要考虑的。算法应该具有良好的扩展性，以便数据量进一步加大（随着业务的发展，数据量加大是必然的）时，在不修改算法框架的前提下，可达到近似的线性比；算法应该具有容错性，即当前某个文件处理失败后，能自动将其交给另外一个线程继续处理，而不是从头开始处理。
top K问题很适合采用MapReduce框架解决，用户只需编写一个Map函数和两个Reduce 函数，然后提交到Hadoop（采用Mapchain和Reducechain）上即可解决该问题。具体而言，就是首先根据数据值或者把数据hash(MD5)后的值按照范围划分到不同的机器上，最好可以让数据划分后一次读入内存，这样不同的机器负责处理不同的数值范围，实际上就是Map。得到结果后，各个机器只需拿出各自出现次数最多的前N个数据，然后汇总，选出所有的数据中出现次数最多的前N个数据，这实际上就是Reduce过程。对于Map函数，采用Hash算法，将Hash值相同的数据交给同一个Reduce task；对于第一个Reduce函数，采用HashMap统计出每个词出现的频率，对于第二个Reduce 函数，统计所有Reduce task，输出数据中的top K即可。
直接将数据均分到不同的机器上进行处理是无法得到正确的结果的。因为一个数据可能被均分到不同的机器上，而另一个则可能完全聚集到一个机器上，同时还可能存在具有相同数目的数据。
题目变形
有10000000个记录，这些查询串的重复度比较高，如果除去重复后，不超过3000000个。一个查询串的重复度越高，说明查询它的用户越多，也就是越热门。请统计最热门的10个查询串，要求使用的内存不能超过1GB。
有10个文件，每个文件1GB，每个文件的每一行存放的都是用户的query，每个文件的query都可能重复。按照query的频度排序。
有一个1GB大小的文件，里面的每一行是一个词，词的大小不超过16个字节，内存限制大小是1MB。返回频数最高的100个词。
提取某日访问网站次数最多的那个IP。
10亿个整数找出重复次数最多的100个整数。
搜索的输入信息是一个字符串，统计300万条输入信息中最热门的前10条，每次输入的一个字符串为不超过255B，内存使用只有1GB。
有1000万个身份证号以及他们对应的数据，身份证号可能重复，找出出现次数最多的身份证号。
Heavy Hitters
- 题目： 寻找数据流中出现最频繁的 k 个元素？
1. HashMap + Heap
用一个 HashMap存放所有元素出现的次数，用一个小根堆，容量为k，存放目前出现过的最频繁的 k 个元素：
- 元素过来时，更新 HashMap， 并且在堆中查找该元素，如果找到，则+1并调整堆； 如果没有找到，则将该元素次数与堆顶元素比较，如果大于，则把堆顶元素替换为该元素，并调整堆。
- 时间复杂度为 $O(n (k + logk))$， 空间复杂度为 $O(n)$
2. 多机 HashMap + Heap
- 将数据分片， 第 i 台机器只处理 $hash(elem) % n == i-1$ 的元素
- 每台机器都有一个 HashMap 和 Heap， 格子计算出 top k 元素
- 将每台机器的 Heap， 通过网络汇总到一台机器上，并将多个Heap合成一个 Heap
3. Count-Min Sketch + Heap
4. Lossy Counting
5. SpaceSaving
范围查询
- 题目：给定一个无限的整数数据流，如何查询在某个范围内的元素出现的总次数？
1. Array of Count-Min Sketches
成员查询 - Bloom Filter
- 题目：给定一个无限的数据流和一个有限集合，如何判断数据流中的元素是否在这个集合中？
布隆过滤器本质上是二进制向量 + 一系列随机映射函数， 主要用于检测某元素是否在一个集合中。
- 优点： 空间效率和查询时间都远远超过一般的算法
布隆过滤器原理
- 加入元素：当一个元素被加入到集合时，通过 K 个哈希函数将这个元素映射成一个位数组中的K个点，把它们置为1。
- 检索元素：查看对应的 K 个点是否都为1 ： 如果存在任意一个为 0， 被检元素一定不在； 如果都为1，则很可能存在。
布隆过滤器与Bitmap 区别
布隆过滤器使用了 k 个哈希函数，每个元素对应 k 个bit，从而降低了冲突的概率
布隆过滤器缺点
- 存在误判：即可能要查找的元素不在容器内，但 k 个位置上都是 1
- 删除困难：一旦删除元素，不能简单将对应 k 个位置置为 0
布隆过滤器实现
假设要存的数据量为n， 期望的误判率为 fpp，我们需要计算 Bit 数组的大小 m， hash 函数的个数 k，并选择合适的哈希函数。
- Bit 数组大小选择：
- 哈希函数选择：
