cs229中文笔记(六)

简介

转自张雨石的中文笔记

点到超平面的距离

输入空间中任意一点到超平面S的距离：

$$\frac{1}{||w||}|w·x_0+b|$$

其推导过程：
设点$x_0$在平面$S$上的投影为$x_1$,则$w·x_1+b=0$
由于向量$\overrightarrow{x_0x_1}$与$S$平面的法向量$w$平行, 所以

$$\begin{align*} |w·\overrightarrow{x_0x_1}|&=|w||\overrightarrow{x_0x_1}| \\ &=\sqrt{(w^1)^2+...+(w^N)^2}d \\ &=||w||_2d \end{align*}$$

又

$$\begin{align*} w·\overrightarrow{x_0x_1}&=w^1(x_0^1-x_1^1)+w^2(x_0^2-x_1^2)+...+w^N(x_0^N-x_1^N) \\ &=w^1x_0^1+w^2x_0^2+...+w^Nx_0^N-(w^1x_1^1+w^2x_1^2+...+w^Nx_1^N) \\ &=w^1x_0^1+w^2x_0^2+...+w^Nx_0^N-(-b) \end{align*}$$

所以

$$\begin{align*} ||w||d&=|w^1x_0^1+w^2x_0^2+...+w^Nx_0^N+b| \\ &=|w·x_0+b| \end{align*}$$

$即d=\frac{1}{||w||}|w·x_0+b|$